Mikä on Laplace Transform? Kaava, ominaisuudet, ehdot ja sovellukset

Mikä on Laplace Transform? Kaava, ominaisuudet, ehdot ja sovellukset

Matematiikalla on ratkaiseva rooli käyttäytymisen ja toiminnan ymmärtämisessä sähköinen ja elektroniset järjestelmät . Polynomit, algebra, todennäköisyys, integraatiot ja erottelut jne.… Muodostavat merkittävän osan työkaluista, joita käytetään järjestelmien ratkaisemiseen. Järjestelmien monimutkaisuuden myötä tarvitaan erittäin kehittyneitä menetelmiä. Differential yhtälöitä käytetään näkyvästi ohjausjärjestelmien määrittelyssä. Nämä yhtälöt on helppo ratkaista. Mutta monimutkaisuus syntyy ratkaistaessa korkeamman asteen differentiaaliyhtälöitä. Tällaisten monimutkaisten korkeamman asteen differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi matemaattinen menetelmä, joka osoittautui tehokkaaksi, on Laplace-muunnos . Koska tätä muutosta käytetään laajalti, on hyödyllistä tietää, mihin he todella tarkoittivat ja miten ne toimivat.



Mikä on Laplace-muunnos?

Matematiikassa käytetään muunnoksia muuttujan muuntamiseksi muodosta toiseen, jotta yhtälö olisi helppo käsitellä. Laplace-muunnokset tekevät melkein saman. Ne muuttavat korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälön polynomimuodoksi, joka on paljon helppoa kuin differentiaaliyhtälön ratkaiseminen suoraan.


Mutta on olemassa erilaisia ​​muunnoksia, kuten Fourier-muunnos, z muuttaa, mikä tekee Laplace-muunnoksesta erityisen? Laplace-muunnoksen suurin etu on, että ne on määritelty sekä vakaille että epävakaille järjestelmille, kun taas Fourier-muunnokset on määritelty vain vakaille järjestelmille.



Laplace-muunnoskaava

Funktion f (t) Laplace-muunnos aikatasossa, jossa t on todellinen luku suurempi tai yhtä suuri kuin nolla, annetaan muodossa F (s), missä s on taajuusalueen kompleksiluku. s = σ + jω
Yllä olevaa yhtälöä pidetään yksipuolinen Laplace-muunnosyhtälö . Kun rajat ulotetaan koko todelliseen akseliin, niin Kahdenvälinen Laplace-muunnos voidaan määritellä
Käytännön piireissä, kuten RC- ja RL-piirit yleensä käytetään alkuolosuhteita, joten yksipuolisia Laplace-muunnoksia käytetään analyysitarkoituksiin.
Koska s = σ + jω, kun σ = 0, Laplace-muunnokset käyttäytyvät Fourier-muunnoksina.

Laplace-muunnoskaavat

Laplace-muunnoskaavat



Laplace-muunnoksen soveltamisedellytykset

Laplace-muunnoksia kutsutaan integraaleiksi muunnoksiksi, joten näiden muunnosten lähentymiselle on välttämättömät ehdot.
ts. f: n on oltava paikallisesti integroitavissa aikavälillä [0, ∞) ja riippuen siitä, onko σ positiivinen vai negatiivinen, e ^ (- σt) voi olla hajoamassa tai kasvamassa. Kahdenvälisissä Laplace-muunnoksissa yhden arvon sijasta integraali lähenee tietyn arvon alueen, joka tunnetaan nimellä lähentymisalue.

Laplace-muunnoksen ominaisuudet:

Lineaarisuus

Lineaarisuus

Lineaarisuus

Ajansiirto

Ajansiirto

Ajansiirto

Vaihto S-verkkotunnuksessa

Vaihto S-verkkotunnuksessa

Vaihto S-verkkotunnuksessa

Ajan kääntäminen

Ajan kääntäminen

Ajan kääntäminen

Eriyttäminen S-verkkotunnuksessa

Eriyttäminen S-verkkotunnuksessa

Eriyttäminen S-verkkotunnuksessa

Konvoluutio ajassa

Konvoluutio ajassa

Konvoluutio ajassa

Alkuarvolause

Alkuarvolause käytetään, kun Laplace-muunnoksessa osoittajan aste on pienempi kuin nimittäjän aste Lopullisen arvon lause:


Jos kaikki sF: n (t) napat ovat S-tason lopullisen arvon lauseen vasemmalla puoliskolla.

Käänteinen Laplace-muunnos

Lähentymisen vuoksi Laplace-muunnoksella on myös käänteinen muunnos. Laplace-muunnoksissa on yksi kerrallaan kartoitus funktiotilasta toiseen. Käänteisen Laplace-muunnoksen kaava on

Kuinka laskea Laplace-muunnos?

Laplace-muunnos tekee yhtälöistä yksinkertaisempia käsitellä. Kun annetaan korkeamman asteen differentiaaliyhtälö, siihen sovelletaan Laplace-muunnosta, joka muuntaa yhtälön algebralliseksi yhtälöksi, mikä helpottaa sen käsittelyä. Sitten laskemme juuret yksinkertaistamalla tätä algebrallista yhtälöä. Nyt löydetään yksinkertaisemman lausekkeen käänteinen Laplace-muunnos, joka ratkaisee annetun korkeamman asteen differentiaaliyhtälön.

Laplace-muunnoksen laskenta

Laplace-muunnoksen laskenta

Laplace Transform -sovellukset

  • Analyysi sähkö - ja elektroniset piirit .
  • Jaetaan monimutkaiset differentiaaliyhtälöt yksinkertaisempiin polynomimuotoihin.
  • Laplace-muunnos antaa tietoa sekä vakaista että ohimenevistä tiloista.
  • Koneoppimisessa Laplace-muunnosta käytetään ennusteiden tekemiseen ja analyysien tekemiseen tiedonlouhinnassa.
  • Laplace-muunnos yksinkertaistaa laskelmia järjestelmämallinnuksessa.

Laplace Transform -sovelluksen käyttö signaalinkäsittelyssä

Laplace-muunnokset valitaan usein signaalinkäsittelyä varten. Fourier-muunnoksen ohella Laplace-muunnos käytetään signaalien tutkimiseen taajuusalueella. Kun taajuusalueen signaalissa on pieniä taajuuksia, voidaan odottaa signaalin olevan tasainen aikatasossa. Signaalin suodatus tapahtuu yleensä taajuusalueella, jolle Laplace toimii tärkeänä työkaluna signaalin muuntamiseksi aikatoiminnosta taajuusalueeksi.

Laplace-muunnoksen käyttö ohjausjärjestelmissä

Ohjausjärjestelmät on yleensä suunniteltu ohjaamaan muiden laitteiden toimintaa. Esimerkki ohjausjärjestelmät voi vaihdella yksinkertaisesta kodin lämmitysohjaimesta teolliseen ohjausjärjestelmään, joka säätelee koneiden käyttäytymistä.

Yleensä ohjausinsinöörit käyttävät differentiaaliyhtälöitä kuvaamaan eri suljettujen silmukoiden toiminnallisten lohkojen käyttäytymistä. Laplace-muunnosta käytetään tässä ratkaisemaan nämä yhtälöt menettämättä tärkeitä muuttujatietoja.

Lineaaristen aika-muuttamattomien järjestelmien karakterisointi käyttäen Laplace-muunnosta

Järjestelmään liittyvän rennon järjestelmän ROC: n tapauksessa toiminto on oikea puolitaso. Järjestelmä on rento, jos sen impulssivaste h (t) = 0, kun t> 0.

Jos järjestelmän toimintojen ROC H (s) sisältää jω-akselin, niin L.T.I. järjestelmää kutsutaan stabiiliksi järjestelmäksi. Jos rennolla järjestelmällä, jolla on rationaaliset järjestelmätoiminnot H (s), on negatiivisia reaaliosia kaikille napoilleen, järjestelmä on vakaa.

Siten Laplace-muunnos on ratkaiseva työkalu piirien analysoinnissa. Voimme sanoa, että stetoskooppi on lääkärille, että Laplace-muunnokset ohjaavat insinööriä. Miksi pidät Laplace-muunnoksia? Millä tavalla ne olivat hyödyllisiä sinulle?